未命名 3

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章节线索第3章

题型线索简答综合、资料整理题

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181103 资料题 HTML 题面

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42题卡30页组0高置信42资料卡

第 1 页题目 2 题卡

#0370 · 第 1 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为“习题一（数学预备场论和张量代数）参考答案”标题页，不是独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为“习题一（数学预备场论和张量代数）参考答案”标题页，不是独立题目。该卡用于定位第 1 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 1 页证据摘录：pages001.jpg 与 OCR 可见“习题一（数学预备场论和张量代数）参考答案”及黑体字说明。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages001.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0371 · 第 1 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题一第1题参考答案：分别用 Hamilton 记号和张量记号证明题中给出的旋度、梯度和方向导数相关向量恒等式。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

已知 \(\mathbf n\cdot\mathbf n\) 为空间常数。Hamilton 法中，为避免微分算子误作用，先引入辅助常矢量 \(\mathbf n_c\)，最后再令 \(\mathbf n_c=\mathbf n\)。利用恒等式
\[
\mathbf a\times(\nabla\times\mathbf b)
=\nabla(\mathbf a\cdot\mathbf b)-(\mathbf a\cdot\nabla)\mathbf b,
\]
可得
\[
(\operatorname{rot}\mathbf n)\times\mathbf n
=-\mathbf n_c\times(\nabla\times\mathbf n)
=-\nabla(\mathbf n_c\cdot\mathbf n)+(\mathbf n_c\cdot\nabla)\mathbf n.
\]
令 \(\mathbf n_c=\mathbf n\)，得到
\[
(\operatorname{rot}\mathbf n)\times\mathbf n
=-\frac12\nabla(\mathbf n\cdot\mathbf n)+(\mathbf n\cdot\nabla)\mathbf n.
\]
因 \(\mathbf n\cdot\mathbf n\) 为常数，第一项为零，故结论成立。张量法中第 \(i\) 分量为
\[
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jmn}\partial_m n_n\,n_k
=-\frac12\partial_i(n_kn_k)+n_k\partial_k n_i.
\]
同样由 \(n_kn_k=\) 常数，得
\[
[(\operatorname{rot}\mathbf n)\times\mathbf n]_i=(\mathbf n\cdot\nabla)n_i.
\]
所以矢量恒等式得证。

核对证据来源：未命名 3第 1 页证据摘录：pages001.jpg 与 OCR 可见“1. 证明：”“(一)Hamilton 表示法”“(二)张量表示法”，并出现待证向量恒等式。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages001.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 2 页题目 1 题卡

#0372 · 第 2 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题一第4题参考答案：用张量运算证明 \(u\cdot(P\cdot v)-v\cdot(P\cdot u)\) 与 \(-2\omega\cdot(u\times v)\) 的关系。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设 \(P\) 的分量为 \(P_{ij}\)，并按源页定义
\[
\omega_k=-\frac12\varepsilon_{kij}P_{ij}.
\]
左端为
\[
\mathbf u\cdot(P\cdot\mathbf v)-\mathbf v\cdot(P\cdot\mathbf u)
=u_iP_{ij}v_j-v_iP_{ij}u_j.
\]
第二项交换哑指标 \(i,j\)，可写为 \(P_{ij}u_jv_i\)，所以左端等于
\[
P_{ij}(u_i v_j-u_jv_i).
\]
右端为
\[
-2\omega_k(\mathbf u\times\mathbf v)_k
=-2\omega_k\varepsilon_{kmn}u_m v_n
=\varepsilon_{kij}P_{ij}\varepsilon_{kmn}u_m v_n.
\]
利用
\[
\varepsilon_{kij}\varepsilon_{kmn}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm},
\]
得右端
\[
P_{ij}(u_i v_j-u_j v_i),
\]
与左端完全相同。因此
\[
\mathbf u\cdot(P\cdot\mathbf v)-\mathbf v\cdot(P\cdot\mathbf u)
=-2\boldsymbol\omega\cdot(\mathbf u\times\mathbf v).
\]

核对证据来源：未命名 3第 2 页证据摘录：pages002.jpg 与 OCR 可见“4. 证明：根据张量运算规则”，并列出 \(u\cdot(P\cdot v)-v\cdot(P\cdot u)\) 和 \(-2\omega\cdot(u\times v)\) 的对应推导。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages002.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 4 页题目 2 题卡

#0373 · 第 4 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题一第5题参考答案：证明张量 \(P\) 为反对称张量当且仅当对任意向量 \(a\) 有 \(a\cdot(P\cdot a)=0\)。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设 \(P\) 分量为 \(P_{ij}\)，任意矢量 \(\mathbf a\) 分量为 \(a_i\)。先证必要性：若 \(P\) 反对称，即
\[
P_{ij}=-P_{ji},
\]
则
\[
\mathbf a\cdot(P\mathbf a)=a_iP_{ij}a_j.
\]
交换哑指标 \(i,j\)，同一标量也等于 \(a_iP_{ji}a_j\)。两式相加：
\[
2a_iP_{ij}a_j=a_i(P_{ij}+P_{ji})a_j=0,
\]
所以 \(\mathbf a\cdot(P\mathbf a)=0\)。再证充分性：若对任意 \(\mathbf a\) 都有
\[
a_iP_{ij}a_j=0,
\]
取 \(\mathbf a=\mathbf e_i\) 得 \(P_{ii}=0\)。对 \(i\ne j\)，取
\[
\mathbf a=\mathbf e_i+\mathbf e_j,
\]
得
\[
0=P_{ii}+P_{ij}+P_{ji}+P_{jj}=P_{ij}+P_{ji}.
\]
故 \(P_{ij}=-P_{ji}\)，于是 \(P^T=-P\)，即 \(P\) 为反对称张量。

核对证据来源：未命名 3第 4 页证据摘录：pages004.jpg 与 OCR 可见“5. 必要性”“充分性”，并给出 \(a\cdot(P\cdot a)=0\) 与 \(P_{ij}=-P_{ji}\) 的推导。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages004.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0374 · 第 4 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为“习题二（流体运动描述）参考答案”标题，不是独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为“习题二（流体运动描述）参考答案”标题，不是独立题目。该卡用于定位第 4 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 4 页证据摘录：pages004.jpg 与 OCR 可见“习题二（流体运动描述）参考答案”，下方进入若干答案条目。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages004.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 6 页题目 2 题卡

#0375 · 第 6 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题二第6题参考答案：由给定速度场分别求流线和迹线，并判断流线形状与质点轨迹形状。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：习题二第6题参考答案：由给定速度场分别求流线和迹线，并判断流线形状与质点轨迹形状。该卡用于定位第 6 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 6 页证据摘录：pages006.jpg 与 OCR 可见“6. 解：流线满足……可见是直线；轨迹满足……可见是抛物线”。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages006.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0376 · 第 6 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题二第10题参考答案：由给定流线方程和速度大小求二维速度场的两个分量。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：习题二第10题参考答案：由给定流线方程和速度大小求二维速度场的两个分量。该卡用于定位第 6 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 6 页证据摘录：pages006.jpg 与 OCR 可见“10.”条，列出流线微分方程、速度大小关系，并给出两组 \(u,v\) 结果。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages006.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 7 页题目 2 题卡

#0377 · 第 7 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为“习题三（质量连续性方程）参考答案”标题，不是独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为“习题三（质量连续性方程）参考答案”标题，不是独立题目。该卡用于定位第 7 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 7 页证据摘录：pages007.jpg 与 OCR 可见“习题三（质量连续性方程）参考答案”。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages007.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0378 · 第 7 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题三第1题参考答案：由不可压与定常条件证明速度沿等密度面方向，并说明反向命题。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

从可压流体连续方程出发：
\[
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0.
\]
展开散度项：
\[
\frac{\partial\rho}{\partial t}
+\mathbf V\cdot\nabla\rho
+\rho\nabla\cdot\mathbf V=0.
\]
若流动定常，则
\[
\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.
\]
若流动不可压，则体积膨胀率为零：
\[
\nabla\cdot\mathbf V=0.
\]
代回连续方程得到
\[
\mathbf V\cdot\nabla\rho=0.
\]
等密度面由 \(\rho(x,y,z)=\text{const}\) 定义，其法向量为 \(\nabla\rho\)。速度与 \(\nabla\rho\) 点乘为零，说明速度方向与等密度面法向垂直，因此速度沿等密度面切向。

反向命题需要条件。若流动定常且速度处处沿等密度面，即 \(\mathbf V\cdot\nabla\rho=0\)，并且 \(\rho>0\)，连续方程给出
\[
\rho\nabla\cdot\mathbf V=0,
\]
因此 \(\nabla\cdot\mathbf V=0\)，可称为不可压体积守恒。若流动不定常，则还存在 \(\partial\rho/\partial t\) 项，反向结论不能直接成立。

核对证据来源：未命名 3第 7 页证据摘录：pages007.jpg 与 OCR 可见“1. 不可压即……定常即……所以速度必沿等密度面方向，反之亦然”。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages007.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 9 页题目 1 题卡

#0379 · 第 9 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题三第8题参考答案：选取薄球壳推导球对称径向流的连续方程，并说明不可压时各同心球面上的质量和体积通量相等。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设球对称径向速度为 \(v(r,t)\)，密度为 \(\rho(r,t)\)。取半径 \(r\) 到 \(r+dr\) 的薄球壳。穿过内、外球面的质量通量分别为
\[
4\pi r^2\rho(r,t)v(r,t),
\quad
4\pi(r+dr)^2\rho(r+dr,t)v(r+dr,t).
\]
外流通量减内流通量等于球壳内质量减少率：
\[
4\pi(r+dr)^2\rho(r+dr)v(r+dr)-4\pi r^2\rho(r)v(r)
=-4\pi r^2dr\,\partial_t\rho.
\]
除以 \(4\pi dr\) 并令 \(dr\to0\)，得
\[
\frac{\partial\rho}{\partial t}
+\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\rho v)=0.
\]
展开可写成
\[
\frac{D\rho}{Dt}+\rho\frac1{r^2}\frac{\partial(r^2v)}{\partial r}=0.
\]
若流体不可压，则 \(D\rho/Dt=0\)，因此
\[
\frac{\partial(r^2v)}{\partial r}=0,
\]
即 \(4\pi r^2v=Q(t)\) 在各同心球面上相同；乘以常密度后，质量通量 \(4\pi\rho r^2v\) 也相同。

核对证据来源：未命名 3第 9 页证据摘录：pages009.jpg 与 OCR 可见“8.”条、“选取厚度为 dr 的球壳”，以及“若不可压……质量通量和体积通量相等”。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages009.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 10 页题目 1 题卡

#0380 · 第 10 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为“习题四（速度分析有旋运动和无旋运动）参考答案”标题，不是独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为“习题四（速度分析有旋运动和无旋运动）参考答案”标题，不是独立题目。该卡用于定位第 10 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 10 页证据摘录：pages010.jpg 与 OCR 可见“习题四（速度分析有旋运动和无旋运动）参考答案”。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages010.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 11 页题目 1 题卡

#0381 · 第 11 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题四第4题参考答案：以 x-y 坐标面上的正方形对角线为例，求对角线的相对伸长速度。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：习题四第4题参考答案：以 x-y 坐标面上的正方形对角线为例，求对角线的相对伸长速度。该卡用于定位第 11 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 11 页证据摘录：pages011.jpg 与 OCR 可见“4. 以 x-y 坐标面上的 A12 为例”，并列出对角线方向与相对伸长速度的计算。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages011.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 12 页题目 1 题卡

#0382 · 第 12 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题四第6题参考答案：对 a)-d) 所列速度场判断可压/不可压、有旋/无旋，并在无旋时给出速度势。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

二维速度场判别准则为
\[
\nabla\cdot\mathbf V=u_x+v_y,\qquad
(\nabla\times\mathbf V)_z=v_x-u_y.
\]
若旋度为零，则可由 \(u=\phi_x,\ v=\phi_y\) 积分求速度势。a) 由 \(\phi=kxy\) 得 \(u=ky,\ v=kx\)，所以
\[
\nabla\cdot\mathbf V=0,\qquad v_x-u_y=k-k=0,
\]
故不可压、无旋。b) 由 \(\phi=\frac{k}{2}(x^2+y^2)\) 得 \(u=kx,\ v=ky\)，于是
\[
\nabla\cdot\mathbf V=2k,\qquad v_x-u_y=0,
\]
一般为可压、无旋。c) 由 \(\phi=\frac{k}{2}(x^2-y^2)\) 得 \(u=kx,\ v=-ky\)，于是
\[
\nabla\cdot\mathbf V=k-k=0,\qquad v_x-u_y=0,
\]
故不可压、无旋。d) 由
\[
\phi=\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{4}x^4+\frac{a}{2}y^2-b\cos y
\]
得 \(u=ax^2+bx^3,\ v=ay+b\sin y\)。此时
\[
\nabla\cdot\mathbf V=2ax+3bx^2+a+b\cos y,
\qquad v_x-u_y=0,
\]
一般不为零，故可压、无旋。

核对证据来源：未命名 3第 12 页证据摘录：pages012.jpg 与 OCR 可见“6.”条和 a)-d) 分项，含“不可压缩”“有旋运动”“无旋运动”“速度势”等判断。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages012.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 13 页题目 1 题卡

#0383 · 第 13 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为“习题五（量纲分析和相似理论）参考答案”标题，不是独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为“习题五（量纲分析和相似理论）参考答案”标题，不是独立题目。该卡用于定位第 13 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 13 页证据摘录：pages013.jpg 与 OCR 可见“习题五（量纲分析和相似理论）参考答案”。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages013.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 15 页题目 1 题卡

#0384 · 第 15 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页混有习题五第3、4、5题答案片段，未形成单一可独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页混有习题五第3、4、5题答案片段，未形成单一可独立题目。该卡用于定位第 15 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 15 页证据摘录：pages015.jpg 与 OCR 可见“3. 解”“4. 研究摩阻”“5. 重力波”等多个连续答案条目。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages015.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 16 页题目 3 题卡

#0385 · 第 16 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为“习题六（理想流体动力学方程组和边界条件）参考答案”标题，不是独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为“习题六（理想流体动力学方程组和边界条件）参考答案”标题，不是独立题目。该卡用于定位第 16 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 16 页证据摘录：pages016.jpg 与 OCR 可见“习题六（理想流体动力学方程组和边界条件）参考答案”。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages016.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0386 · 第 16 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题六第1题参考答案：由给定运动边界面方程和物质面条件，求边界面上任一点的法向速度。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设运动边界面由
\[
F(x,y,z,t)=0
\]
表示。若这个边界面是物质面，流体质点一旦在面上，就始终留在面上。因此沿流体质点轨迹有
\[
\frac{DF}{Dt}=0.
\]
展开物质导数：
\[
\frac{DF}{Dt}
=\frac{\partial F}{\partial t}
+u\frac{\partial F}{\partial x}
+v\frac{\partial F}{\partial y}
+w\frac{\partial F}{\partial z}=0.
\]
令
\[
\mathbf n=\frac{\nabla F}{|\nabla F|}
\]
为边界面单位法向，则流体速度法向分量为
\[
\mathbf V\cdot\mathbf n
=\frac{\mathbf V\cdot\nabla F}{|\nabla F|}.
\]
由物质面条件得
\[
\mathbf V\cdot\nabla F=-F_t,
\]
所以边界面法向速度为
\[
V_n=\mathbf V\cdot\mathbf n=-\frac{F_t}{|\nabla F|}.
\]
若边界写成自由面形式 \(z=\zeta(x,y,t)\)，取 \(F=z-\zeta\)，则
\[
F_t=-\zeta_t,\quad F_x=-\zeta_x,\quad F_y=-\zeta_y,\quad F_z=1.
\]
代入 \(DF/Dt=0\) 得
\[
w=\zeta_t+u\zeta_x+v\zeta_y.
\]
这说明边界法向运动由局部升降项和切向输运项共同决定。

核对证据来源：未命名 3第 16 页证据摘录：pages016.jpg 与 OCR 可见“1. 解：运动边界面方程”和物质面条件 \(\partial f/\partial t+V\cdot\nabla f=0\)，并写出“因此边界面上任一点的法向速度”。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages016.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0387 · 第 16 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页混有习题六第2题边界条件答案和第4题水下爆炸问题开头，未形成单一可独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页混有习题六第2题边界条件答案和第4题水下爆炸问题开头，未形成单一可独立题目。该卡用于定位第 16 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 16 页证据摘录：pages016.jpg 与 OCR 可见“2.”条的固壁边界条件说明，又可见“4. 水下爆炸问题”。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages016.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 20 页题目 2 题卡

#0388 · 第 20 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题六第9题参考答案：用 Lagrangian 方程求解图示液柱/流线长约为 a 的振动问题。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：习题六第9题参考答案：用 Lagrangian 方程求解图示液柱/流线长约为 a 的振动问题。该卡用于定位第 20 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 20 页证据摘录：pages020.jpg 与 OCR 可见“9. 解：用 Lagrangian Eq. 求解。流线长≈a”，并列出振动方程和位移解。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages020.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0389 · 第 20 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为习题六第11题的答案片段，未见可独立确认的完整题目目标。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为习题六第11题的答案片段，未见可独立确认的完整题目目标。该卡用于定位第 20 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 20 页证据摘录：pages020.jpg 与 OCR 可见“11. 证：合外力=0。设 X、Y 为单位质量流点受力”，但未见完整题干。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages020.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 23 页题目 2 题卡

#0390 · 第 23 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为习题六第15题表面力计算的续答案片段，未见独立题干。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为习题六第15题表面力计算的续答案片段，未见独立题干。该卡用于定位第 23 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 23 页证据摘录：pages023.jpg 与 OCR 可见连续积分表达式和页内红框结论，未见新题题干。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages023.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0391 · 第 23 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为习题六第15题后续答案片段，OCR 中的编号不足以确认独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为习题六第15题后续答案片段，OCR 中的编号不足以确认独立题目。该卡用于定位第 23 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 23 页证据摘录：pages023.jpg 与 OCR 显示仍为连续答案推导和公式块，缺少可独立确认的题目文字。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages023.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 27 页题目 2 题卡

#0392 · 第 27 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为“习题七（理想流体动力学方程的积分）参考答案”标题，不是独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为“习题七（理想流体动力学方程的积分）参考答案”标题，不是独立题目。该卡用于定位第 27 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 27 页证据摘录：pages027.jpg 与 OCR 可见“习题七（理想流体动力学方程的积分）参考答案”。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages027.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0393 · 第 27 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题七第1题参考答案：由连续性方程和 Bernoulli 方程分析定常流中截面变化时速度、密度和压强关系。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：习题七第1题参考答案：由连续性方程和 Bernoulli 方程分析定常流中截面变化时速度、密度和压强关系。该卡用于定位第 27 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 27 页证据摘录：pages027.jpg 与 OCR 可见“1. 解：定常流流线示意图”“连续性方程”和“Bernoulli Eq.”相关推导。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages027.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 30 页题目 2 题卡

#0394 · 第 30 页资料正文/待复核mediumHTML题面

参考答案混合页卡：习题八（理想不可压缩流体无旋流动）参考答案。源页同时包含第 1、2 题答案和第 3 题证明开头，不是单一独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：参考答案混合页卡：习题八（理想不可压缩流体无旋流动）参考答案。源页同时包含第 1、2 题答案和第 3 题证明开头，不是单一独立题目。该卡用于定位第 30 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 30 页证据摘录：pages030.jpg 与 OCR 可见“习题八（理想不可压缩流体无旋流动）参考答案”，并连续出现“1.”“2.”和“3. 证明”。文本来源：manual-source-page-correction-round373-medium来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages030.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0395 · 第 30 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题八第3题参考答案：证明定常平面流可由流函数关系表示，并与连续方程相联系。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设定常平面不可压流速度为 \(u(x,y),v(x,y)\)。连续方程为
\[
u_x+v_y=0.
\]
令
\[
d\psi=-v\,dx+u\,dy.
\]
因为
\[
\frac{\partial(-v)}{\partial y}=-v_y=u_x=\frac{\partial u}{\partial x},
\]
这个一阶微分形式在局部为全微分，所以存在流函数 \(\psi\)，并满足
\[
u=\psi_y,\qquad v=-\psi_x.
\]
反过来，若速度由上式给出，则
\[
u_x+v_y=\psi_{yx}-\psi_{xy}=0,
\]
连续方程自动满足。沿流线有 \(dy/dx=v/u\)，因此
\[
d\psi=-v\,dx+u\,dy=0,
\]
故流线可写成 \(\psi=\text{const}\)。固壁无穿透时，壁面上的法向通量为零，也对应一条 \(\psi\) 常数线。

核对证据来源：未命名 3第 30 页证据摘录：pages030.jpg 与 OCR 可见“3. 证明：”以及由定常平面流连续方程到流函数关系的推导。文本来源：manual-source-page-correction-round373-medium来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages030.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 31 页题目 1 题卡

#0396 · 第 31 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题八第6题参考答案：求偶相对于半径为 a 的圆的像，证明像偶强度与原偶强度之比，并求圆柱外的偶作用在圆柱上的力。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设圆柱截面为 \(|z|=a\)，外部偶极位于 \(z_0\)，且 \(|z_0|>a\)，复偶极强度为 \(\mu\)。圆定理说明，为使圆周 \(|z|=a\) 成为流线，需要在反演点
\[
z_i=\frac{a^2}{\overline{z_0}}
\]
放置像偶极。像偶极强度可写为
\[
\mu_i=-\frac{a^2\overline{\mu}}{\overline{z_0}^{\,2}}.
\]
因此强度大小之比为
\[
\frac{|\mu_i|}{|\mu|}
=\frac{a^2}{|z_0|^2}.
\]
复势可写成
\[
W(z)=\frac{\mu}{z-z_0}+\frac{\mu_i}{z-z_i}+C,
\]
常数 \(C\) 只影响势函数零点，不影响速度。验证边界时，在 \(|z|=a\) 上有 \(z=a^2/\overline z\)，像点正是外部点关于圆的反演，因而圆周上的流函数为常数，满足不可穿透条件。圆柱受力可由 Blasius 公式
\[
F_x-iF_y=\frac{i\rho}{2}\oint_{|z|=a}\left(\frac{dW}{dz}\right)^2dz
\]
计算。代入源页给定的 \(z_0\) 与偶极方向后，通过留数即可得到力分量。若题卡没有给 \(z_0\) 和偶极方向，不能唯一给出数值力。

核对证据来源：未命名 3第 31 页证据摘录：pages031.jpg 与 OCR 可见“6. 求偶相对于半径为 a 之圆的像，并证明其强度与原偶之强度的比为 a^2/F^2……求圆柱外之偶作用在圆柱上的力”。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages031.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 33 页题目 1 题卡

#0397 · 第 33 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页混有习题八第9、11、12题答案片段，未形成单一可独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页混有习题八第9、11、12题答案片段，未形成单一可独立题目。该卡用于定位第 33 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 33 页证据摘录：pages033.jpg 与 OCR 可见“9.”“11.”“12.”等连续答案编号和多组复势/受力公式。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages033.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 34 页题目 1 题卡

#0398 · 第 34 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页混有习题八第14、15题等答案片段，未形成单一可独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页混有习题八第14、15题等答案片段，未形成单一可独立题目。该卡用于定位第 34 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 34 页证据摘录：pages034.jpg 与 OCR 可见“14.”与“15.”条，且为连续答案公式和结论。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages034.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 36 页题目 1 题卡

#0399 · 第 36 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题八第18题参考答案：建立静止坐标系下运动圆柱的势流问题，求速度势/速度场、流体动能及圆柱惯性阻力。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设半径为 \(a\) 的圆柱在无限理想不可压流体中沿 \(x\) 方向以速度 \(U(t)\) 运动，远处流体静止。以圆柱中心为原点的随体坐标中，边界条件为圆柱表面法向速度匹配：
\[
v_r(a,\theta)=U\cos\theta,
\]
远处速度趋于零：
\[
v_r(\infty,\theta)=0.
\]
满足 Laplace 方程和上述边界条件的速度势可取
\[
\phi=-\frac{Ua^2}{r}\cos\theta.
\]
于是
\[
v_r=\frac{\partial\phi}{\partial r}
=\frac{Ua^2}{r^2}\cos\theta,
\qquad
v_\theta=\frac1r\frac{\partial\phi}{\partial\theta}
=\frac{Ua^2}{r^2}\sin\theta.
\]
流体动能按单位圆柱长度计算：
\[
T=\frac12\rho\int_a^\infty\int_0^{2\pi}
(v_r^2+v_\theta^2)r\,d\theta dr.
\]
因 \(v_r^2+v_\theta^2=U^2a^4/r^4\)，得
\[
T=\frac12\rho\int_a^\infty\int_0^{2\pi}\frac{U^2a^4}{r^4}r\,d\theta dr
=\frac12\pi\rho a^2U^2.
\]
这等价于附加质量
\[
m_a=\pi\rho a^2.
\]
因此圆柱非定常加速时受到的惯性阻力为
\[
F=-m_a\frac{dU}{dt}=-\pi\rho a^2\dot U.
\]
匀速时 \(\dot U=0\)，理想流体中无阻力。

核对证据来源：未命名 3第 36 页证据摘录：pages036.jpg 可见“18. 解：取参照系为静止坐标系……圆柱中心……”，pages037.jpg 续页可见速度、流体动能、阻力和圆柱运动方程推导。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages036.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 38 页题目 2 题卡

#0400 · 第 38 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为“习题九（粘性流体的运动）参考答案”标题，不是独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为“习题九（粘性流体的运动）参考答案”标题，不是独立题目。该卡用于定位第 38 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 38 页证据摘录：pages038.jpg 与 OCR 可见“习题九（粘性流体的运动）参考答案”。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages038.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0401 · 第 38 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题九第1题参考答案：以管中心轴线为 z 轴建立柱坐标系，证明圆管定常轴向粘性流的速度只与半径有关，并由 N-S 方程求速度分布与体积流量。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设圆管半径为 \(a\)，\(z\) 轴沿管中心线，令 \(G=-dp/dz>0\) 表示沿程压强降带来的驱动力。定常、轴对称、充分发展的轴向流满足
\[
v_r=v_\theta=0,\qquad v_z=q(r).
\]
这个形式先由连续方程得到：柱坐标连续方程中只剩 \(\partial v_z/\partial z=0\)，又无 \(\theta\) 依赖，所以 \(v_z\) 只能是 \(r\) 的函数。\(z\) 向 Navier-Stokes 方程化为
\[
0=G+\mu\frac1r\frac{d}{dr}\left(r\frac{dq}{dr}\right).
\]
积分得
\[
q=-\frac{G r^2}{4\mu}+C_1\ln r+C_2.
\]
轴线上速度必须有限，所以 \(C_1=0\)；壁面无滑移 \(q(a)=0\)，故
\[
q(r)=\frac{G}{4\mu}(a^2-r^2).
\]
体积流量为
\[
Q=2\pi\int_0^a q(r)r\,dr=\frac{\pi G a^4}{8\mu}.
\]
这就是圆管 Poiseuille 流的速度分布和流量公式。

核对证据来源：未命名 3第 38 页证据摘录：pages038.jpg 与 OCR 可见“1.（1）证明：以管中心轴线为 z 轴建立柱坐标系”，并出现速度只与半径有关、N-S 方程和体积流量推导。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages038.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 39 页题目 1 题卡

#0402 · 第 39 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题九第2题参考答案：以共轴为 z 轴建立柱坐标系，求同轴圆环区域内定常轴向粘性流的速度分布、流量和平均速度。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设环隙内半径为 \(a\)，外半径为 \(b=na\,(n>1)\)，令 \(G=-dp/dz>0\)。轴对称充分发展流仍满足
\[
v_z=q(r),
\]
动量方程为
\[
\frac1r\frac{d}{dr}\left(r\frac{dq}{dr}\right)=-\frac{G}{\mu}.
\]
通解为
\[
q=-\frac{G r^2}{4\mu}+C_1\ln r+C_2.
\]
环隙不含 \(r=0\)，所以 \(\ln r\) 项不能直接舍去。由内、外壁无滑移
\[
q(a)=0,\qquad q(b)=0
\]
可得
\[
q(r)=\frac{G}{4\mu}\left[a^2-r^2+\frac{b^2-a^2}{\ln(b/a)}\ln\frac{r}{a}\right].
\]
于是
\[
Q=2\pi\int_a^b q r\,dr
=\frac{\pi G}{8\mu}\left[b^4-a^4-\frac{(b^2-a^2)^2}{\ln(b/a)}\right],
\]
平均速度
\[
\bar q=\frac{Q}{\pi(b^2-a^2)}
=\frac{G}{8\mu}\left[b^2+a^2-\frac{b^2-a^2}{\ln(b/a)}\right].
\]

核对证据来源：未命名 3第 39 页证据摘录：pages039.jpg 与 OCR 可见“2. 证明：以共轴为 z 轴建立柱坐标系”，并列出 \(q(r)\)、\(Q\) 与平均速度等量。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages039.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 43 页题目 1 题卡

#0403 · 第 43 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题九第7题参考答案：求同轴圆筒间旋转粘性流在内管固定/外管固定情形下的速度分布、压强分布、应力和管壁摩擦力矩。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设内外圆筒半径分别为 \(a,b\)，角速度为 \(\Omega_a,\Omega_b\)。定常轴对称旋转黏性流只有周向速度
\[
v_\theta=v_\theta(r),\qquad v_r=v_z=0.
\]
周向方程解为
\[
v_\theta=Ar+\frac Br.
\]
由无滑移边界条件
\[
v_\theta(a)=\Omega_a a,\qquad v_\theta(b)=\Omega_b b,
\]
解得
\[
A=\frac{\Omega_b b^2-\Omega_a a^2}{b^2-a^2},\qquad
B=\frac{a^2b^2(\Omega_a-\Omega_b)}{b^2-a^2}.
\]
径向动量方程给压强分布：
\[
\frac{dp}{dr}=\rho\frac{v_\theta^2}{r}.
\]
代入 \(v_\theta=Ar+B/r\) 并积分：
\[
p-p_0=\rho\left[\frac{A^2}{2}(r^2-r_0^2)+2AB\ln\frac r{r_0}
-\frac{B^2}{2}\left(\frac1{r^2}-\frac1{r_0^2}\right)\right].
\]
剪应力为
\[
\tau_{r\theta}=\mu\left(\frac{dv_\theta}{dr}-\frac{v_\theta}{r}\right)
=-\frac{2\mu B}{r^2}.
\]
单位长度圆筒壁面力矩大小为
\[
M=2\pi r^2|\tau_{r\theta}|=4\pi\mu|B|.
\]
内管固定时令 \(\Omega_a=0\)，外管固定时令 \(\Omega_b=0\)，即可分别得到两种情形。

核对证据来源：未命名 3第 43 页证据摘录：pages043.jpg 与 OCR 可见“7. 解：(1)内管固定……”，并列出速度、压强、剪应力和“作用在外管管壁上的摩擦力矩”。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages043.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 44 页题目 2 题卡

#0404 · 第 44 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为习题九第7题续答案、附注及第8题开头的混合片段，未形成单一独立题目。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为习题九第7题续答案、附注及第8题开头的混合片段，未形成单一独立题目。该卡用于定位第 44 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 44 页证据摘录：pages044.jpg 与 OCR 可见第7题续推导、“附：”以及“8. 解：边界条件”。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages044.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

#0405 · 第 44 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题九第8题参考答案：在内外圆筒分别以角速度 \(\omega_1\)、\(\omega_2\) 转动时，求同轴圆筒间旋转流的周向速度、剪应力和管壁力矩。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：习题九第8题参考答案：在内外圆筒分别以角速度 \(\omega_1\)、\(\omega_2\) 转动时，求同轴圆筒间旋转流的周向速度、剪应力和管壁力矩。该卡用于定位第 44 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 44 页证据摘录：pages044.jpg 与 OCR 可见“8. 解：边界条件 r=a……r=b……”，并列出速度、剪应力与力矩。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages044.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 46 页题目 1 题卡

#0406 · 第 46 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题九第10题参考答案：对斜置圆管中的定常粘性流建立柱坐标系，由 N-S 方程推导轴向速度分布和流量关系。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

取 \(z\) 沿斜置圆管轴线，半径为 \(a\)。若管轴与重力方向的投影给出沿管分量 \(g\sin\alpha\)，则总轴向驱动力可写为
\[
G=-\frac{dp}{dz}+\rho g\sin\alpha.
\]
定常轴对称充分发展时
\[
v_r=v_\theta=0,\qquad v_z=q(r).
\]
\(z\) 向 Navier-Stokes 方程变为
\[
0=G+\mu\frac1r\frac{d}{dr}\left(r\frac{dq}{dr}\right).
\]
两次积分得
\[
q=-\frac{G r^2}{4\mu}+C_1\ln r+C_2.
\]
由 \(r=0\) 速度有限得 \(C_1=0\)，由壁面无滑移 \(q(a)=0\) 得
\[
q(r)=\frac{G}{4\mu}(a^2-r^2).
\]
因此
\[
Q=2\pi\int_0^a q r\,dr
=\frac{\pi a^4}{8\mu}\left(-\frac{dp}{dz}+\rho g\sin\alpha\right).
\]
若讲义把 \(p\) 记为正的压强降梯度 \(p=-dp/dz\)，则同式写成 \(Q=\pi a^4(p+\rho g\sin\alpha)/(8\mu)\)。

核对证据来源：未命名 3第 46 页证据摘录：pages046.jpg 与 OCR 可见“10. 证明：如图建立坐标系”，以及 \(v_r=v_\theta=0\)、\(v_z=v_z(r)\) 和 N-S 方程化简。文本来源：manual-source-page-correction-round373-medium来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages046.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 47 页题目 1 题卡

#0407 · 第 47 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题九第12题参考答案：用零压梯度平板定常层流的边界层动量积分方程和给定速度分布，证明边界层厚度及位移厚度关系。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

零压梯度平板层流中外流速度 \(U\) 为常数。令
\[
\eta=\frac{y}{\delta},\qquad \frac{u}{U}=f(\eta)=\sin\frac{\pi\eta}{2}.
\]
动量厚度为
\[
\theta=\int_0^\delta \frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy
=\delta\int_0^1 f(1-f)d\eta
=\delta\left(\frac2\pi-\frac12\right).
\]
壁面剪应力由速度梯度给出：
\[
\tau_w=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_0
=\frac{\pi\mu U}{2\delta}.
\]
零压梯度边界层动量积分方程为
\[
U^2\frac{d\theta}{dx}=\frac{\tau_w}{\rho}.
\]
代入上式得
\[
\delta\frac{d\delta}{dx}=\frac{\pi^2\nu}{U(4-\pi)}.
\]
以前缘条件 \(\delta(0)=0\) 积分：
\[
\delta^2=\frac{2\pi^2\nu x}{U(4-\pi)},\qquad
\frac{\delta}{x}\approx\frac{4.80}{\sqrt{Re_x}}.
\]
位移厚度为
\[
\delta^*=\int_0^\delta\left(1-\frac{u}{U}\right)dy
=\delta\left(1-\frac2\pi\right)=\frac{\pi-2}{\pi}\delta.
\]

核对证据来源：未命名 3第 47 页证据摘录：pages047.jpg 与 OCR 可见“12. 证明：零压梯度：平板定常层流的边界层动量积分为”，并列出速度分布和边界层厚度推导。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages047.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 48 页题目 1 题卡

#0408 · 第 48 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题九第13题参考答案：引入相似变量和流函数，将边界层方程化为相似常微分方程，并给出边界条件。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

设二维定常不可压边界层外流速度为
\[
U=cx^m.
\]
取相似变量和流函数
\[
\eta=y\sqrt{\frac{U}{\gamma x}},\qquad
\psi=\sqrt{\gamma Ux}\,f(\eta).
\]
由 \(u=\psi_y\) 得
\[
u=Uf'(\eta).
\]
由 \(v=-\psi_x\)，并注意 \(U_x=mU/x\)，可得
\[
v=-\frac12\sqrt{\frac{\gamma U}{x}}\left[(m+1)f+(m-1)\eta f'\right].
\]
边界层动量方程含外压梯度时可写为
\[
u u_x+v u_y=U\frac{dU}{dx}+\gamma u_{yy}.
\]
将 \(u,v,\eta\) 的表达式代入，并把公共因子约去，得到 Falkner-Skan 型常微分方程
\[
f'''+\frac12(m+1)ff''+m\left[1-(f')^2\right]=0.
\]
边界条件来自壁面无穿透、无滑移和外缘速度匹配：
\[
f(0)=0,\qquad f'(0)=0,\qquad f'(\infty)=1.
\]
若教材采用有限边界层外缘，也可附加 \(f''(\eta_\delta)=0\) 表示外缘剪切趋零。结论是相似变换把原来的边界层偏微分方程化为一个关于 \(f(\eta)\) 的常微分边值问题。

核对证据来源：未命名 3第 48 页证据摘录：pages048.jpg 与 pages049.jpg/OCR 可见“13. 证明”、相似变量、流函数以及边界条件推导。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages048.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 49 页题目 1 题卡

#0409 · 第 49 页资料正文/待复核mediumHTML题面

习题九第14题参考答案：对两平板间湍流平均运动，写出连续方程和非定常 N-S 方程组，作 Reynolds 分解并推导平均方程。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

取 \(x\) 沿板面，\(y=\pm h\) 为两板，平均运动二维不可压，且除压力外平均量不随 \(x\) 变。作 Reynolds 分解
\[
u=U+u',\quad v=V+v',\quad w=W+w',\quad p=P+p'.
\]
时均并用 \(U=U(y),V=V(y),W=0,P=P(x,y)\)。连续方程给
\[
\frac{dV}{dy}=0.
\]
壁面无穿透 \(V(\pm h)=0\)，所以 \(V=0\)。平均动量方程化为
\[
\frac{d\overline{u'v'}}{dy}=-\frac1\rho P_x+\nu U'',\qquad
\frac{d\overline{v'^2}}{dy}=-\frac1\rho P_y,\qquad
\frac{d\overline{v'w'}}{dy}=0.
\]
壁面边界为 \(U=0\)，且脉动速度在壁面为零，所以 \(\overline{u'v'}=\overline{v'^2}=\overline{v'w'}=0\)。由第二式积分得
\[
P(x,y)=C(x)-\rho\overline{v'^2}.
\]
因 \(\overline{v'^2}\ge0\) 且壁面为 0，同一 \(x\) 截面上时均压力在板面最大。第一式可写为
\[
\mu U''-\rho(\overline{u'v'})'=C'(x),
\]
积分得
\[
\mu U'-\rho\overline{u'v'}=C'(x)y+C_1.
\]
左端即分子黏性剪应力与 Reynolds 剪应力之和，故总剪应力沿 \(y\) 线性变化，常数由壁面剪应力和对称条件确定。

核对证据来源：未命名 3第 49 页证据摘录：pages049.jpg 与 pages050.jpg/OCR 可见“14. 解：1)取对称面为 x-y 平面……写出问题原始的连续方程和非定常 N-S 方程组”，并进入 Reynolds 分解与平均方程。文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages049.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 50 页题目 1 题卡

#0410 · 第 50 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为习题九第14题第2部分的续答案片段，未见独立题干。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为习题九第14题第2部分的续答案片段，未见独立题干。该卡用于定位第 50 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 50 页证据摘录：pages050.jpg 与 OCR 可见“2) 将方程组(9-14-2)的第二式两边对 y 积分……”，显示为第14题续步骤。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages050.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 51 页题目 1 题卡

#0411 · 第 51 页资料正文/待复核mediumHTML题面

源页为习题九第14题第3部分的续答案片段，未见独立题干。

资料线索（非独立参考答案，默认展开，可收起）

资料定位：源页为习题九第14题第3部分的续答案片段，未见独立题干。该卡用于定位第 51 页的讲义正文、续页、章节标题或上下文证据，帮助学生在站内直接阅读 181103 HTML。来源边界：本条不进入默认刷题池，只有已确认题干和答案的独立条目才会进入题库刷题。

核对证据来源：未命名 3第 51 页证据摘录：pages051.jpg 与 OCR 可见“3) 将(9-14-3)代入方程(9-14-2)第一式……”，显示为第14题后续推导。文本来源：manual-source-page-content-card-round373来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/38-fluid-181103-38-3-3/pages051.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。