例1.2 设某流动欧拉表述的速度场为 \(u=c_1x+t^2\)，\(v=c_2y-t^2\)，\(w=0\)，其中 \(c_1,c_2\) 为常数。试给出此流动在拉格朗日表述下的：(1) 流体质点运动方程；(2) 速度；(3) 加速度。
参考答案（默认展开，可收起）
取 \(t=0\) 时流体质点坐标 \((\xi,\eta,\zeta)\) 为拉格朗日标签。质点运动满足
\[
\frac{dx}{dt}=c_1x+t^2,\qquad
\frac{dy}{dt}=c_2y-t^2,\qquad
\frac{dz}{dt}=0,
\]
初始条件为
\[
x(0)=\xi,\qquad y(0)=\eta,\qquad z(0)=\zeta.
\]
用积分因子解第一式：
\[
\frac{d}{dt}(xe^{-c_1t})=t^2e^{-c_1t},
\]
所以
\[
x(t)=e^{c_1t}\left[\xi+\int_0^t s^2e^{-c_1s}\,ds\right].
\]
同理
\[
y(t)=e^{c_2t}\left[\eta-\int_0^t s^2e^{-c_2s}\,ds\right],
\qquad z(t)=\zeta.
\]
若 \(c_1\ne0\)，可化为
\[
x(t)=e^{c_1t}\left(\xi+\frac{2}{c_1^3}\right)-\frac{t^2}{c_1}-\frac{2t}{c_1^2}-\frac{2}{c_1^3};
\]
若 \(c_1=0\)，则 \(x(t)=\xi+t^3/3\)。若 \(c_2\ne0\)，
\[
y(t)=e^{c_2t}\left(\eta-\frac{2}{c_2^3}\right)+\frac{t^2}{c_2}+\frac{2t}{c_2^2}+\frac{2}{c_2^3};
\]
若 \(c_2=0\)，则 \(y(t)=\eta-t^3/3\)。
拉格朗日速度为
\[
u_L=\dot x=c_1x(t)+t^2,\qquad
v_L=\dot y=c_2y(t)-t^2,\qquad
w_L=0.
\]
加速度为
\[
a_x=\ddot x=c_1[c_1x(t)+t^2]+2t
=c_1^2x(t)+c_1t^2+2t,
\]
\[
a_y=\ddot y=c_2[c_2y(t)-t^2]-2t
=c_2^2y(t)-c_2t^2-2t,
\]
\[
a_z=0.
\]
这就给出了该流动在拉格朗日表述下的质点运动方程、速度和加速度。
\[
\frac{dx}{dt}=c_1x+t^2,\qquad
\frac{dy}{dt}=c_2y-t^2,\qquad
\frac{dz}{dt}=0,
\]
初始条件为
\[
x(0)=\xi,\qquad y(0)=\eta,\qquad z(0)=\zeta.
\]
用积分因子解第一式：
\[
\frac{d}{dt}(xe^{-c_1t})=t^2e^{-c_1t},
\]
所以
\[
x(t)=e^{c_1t}\left[\xi+\int_0^t s^2e^{-c_1s}\,ds\right].
\]
同理
\[
y(t)=e^{c_2t}\left[\eta-\int_0^t s^2e^{-c_2s}\,ds\right],
\qquad z(t)=\zeta.
\]
若 \(c_1\ne0\)，可化为
\[
x(t)=e^{c_1t}\left(\xi+\frac{2}{c_1^3}\right)-\frac{t^2}{c_1}-\frac{2t}{c_1^2}-\frac{2}{c_1^3};
\]
若 \(c_1=0\)，则 \(x(t)=\xi+t^3/3\)。若 \(c_2\ne0\)，
\[
y(t)=e^{c_2t}\left(\eta-\frac{2}{c_2^3}\right)+\frac{t^2}{c_2}+\frac{2t}{c_2^2}+\frac{2}{c_2^3};
\]
若 \(c_2=0\)，则 \(y(t)=\eta-t^3/3\)。
拉格朗日速度为
\[
u_L=\dot x=c_1x(t)+t^2,\qquad
v_L=\dot y=c_2y(t)-t^2,\qquad
w_L=0.
\]
加速度为
\[
a_x=\ddot x=c_1[c_1x(t)+t^2]+2t
=c_1^2x(t)+c_1t^2+2t,
\]
\[
a_y=\ddot y=c_2[c_2y(t)-t^2]-2t
=c_2^2y(t)-c_2t^2-2t,
\]
\[
a_z=0.
\]
这就给出了该流动在拉格朗日表述下的质点运动方程、速度和加速度。
核对证据来源：1 流体的物理性质 1第 15 页证据摘录：例1.2 设某流动欧拉表述的速度场为 u=c1x+t²，v=c2y-t²，ω=0，其中c1、c2为常数。试给出此流动在拉格朗日表述下的(1)流体质点运动方程(2)速度(3)加速度文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/04-fluid-181103-04-1-1/rendered-page-015.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。
