1 流体的物理性质 2

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第 2 页题目 1 题卡

#0293 · 第 2 页名词解释highHTML题面

连续介质假设的提出意义是什么？为什么对微观和宏观都有要求？以下哪种情况可以采用连续介质假设：a. 飞机在平流层飞行；b. 人造卫星在稀薄大气层中运动。

参考答案（默认展开，可收起）

连续介质假设的意义，是把真实由大量分子组成的流体改写成可微的场：
\[
\rho=\rho(\mathbf x,t),\qquad
\mathbf v=\mathbf v(\mathbf x,t),\qquad
p=p(\mathbf x,t),\qquad
T=T(\mathbf x,t).
\]
这样才能对任意控制体写连续方程、动量方程和能量方程，并使用
\[
\nabla\cdot\mathbf v,\qquad
\frac{\partial \rho}{\partial t},\qquad
\nabla p
\]
这类空间微分量。如果没有连续介质假设，问题就会退回到分子碰撞和分子轨道的统计力学层面，工程流体力学方程无法直接成立。

它之所以对微观和宏观都有要求，是因为流体质点必须同时满足两个相反的尺度条件。设分子平均自由程或分子尺度为
\[
\ell_m,
\]
宏观流动特征长度为
\[
L,
\]
所取流体微团尺度为
\[
\delta l.
\]
微观上要求
\[
\ell_m\ll \delta l,
\]
这样微团内含有足够多分子，密度、速度、压强、温度等统计平均值才稳定。宏观上又要求
\[
\delta l\ll L,
\]
这样这个微团相对宏观流动足够小，才可近似看成一个空间点。合在一起就是尺度分离
\[
\ell_m\ll \delta l\ll L.
\]
常用无量纲判据为 Knudsen 数
\[
Kn=\frac{\ell_m}{L}.
\]
当
\[
Kn\ll1
\]
时，通常可采用连续介质模型；当 \(Kn\) 不小，分子自由程与物体尺度或流动变化尺度相当，普通 Navier-Stokes 连续模型就不再可靠。

对题中两个例子，飞机在平流层飞行时，虽然空气比近地面稀薄，但飞机机翼、机身等特征长度 \(L\) 通常仍远大于分子平均自由程，工程上多数区域可近似用连续介质假设，必要时再加入可压缩和稀薄修正。人造卫星在稀薄大气层中运动时，轨道高度处平均自由程可与卫星尺度同量级甚至更大，\(Kn\) 往往不满足小量条件，因此不能简单采用普通连续介质假设，而应采用自由分子流、稀薄气体动力学或 DSMC 等模型。结论是：a 通常可以近似采用；b 通常不宜采用普通连续介质假设。

核对证据来源：1 流体的物理性质 2第 2 页证据摘录：连续介质假设的提出意义？（为什么对微观和宏观都有要求）以下哪种情况可以采取连续介质假设？a 飞机在平流层飞行 b 人造卫星在稀薄大气层中运动文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/05-fluid-181103-05-1-2/rendered-page-002.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 14 页题目 1 题卡

#0294 · 第 14 页计算与分析题highHTML题面

例1.1 分别以拉格朗日和欧拉方法表述图1-3的纯剪切流动。

参考答案（默认展开，可收起）

设图中两平板相距为 \(h\)，上板相对下板速度为 \(U\)，取 \(y\) 自下板指向上板。纯剪切流的物理含义是速度沿 \(x\) 方向，大小随 \(y\) 线性变化：
\[
u=\frac Uh y,\qquad v=0,\qquad w=0.
\]
先作拉格朗日表述。用初始位置
\[
(a,b,c)
\]
标记质点。由于没有横向速度和竖向速度，质点的 \(y,z\) 坐标保持为
\[
y=b,\qquad z=c.
\]
该质点的 \(x\) 方向速度由其所在高度 \(b\) 决定：
\[
\frac{dx}{dt}=\frac Uh b.
\]
若初始时
\[
x(0)=a,
\]
积分得
\[
\boxed{x=a+\frac Uh bt,\qquad y=b,\qquad z=c.}
\]
这就是拉格朗日描述：它直接给出每个标号为 \((a,b,c)\) 的质点随时间的位置。

再由拉格朗日映射求速度：
\[
u_L=\frac{\partial x}{\partial t}=\frac Uh b,
\qquad
v_L=\frac{\partial y}{\partial t}=0,
\qquad
w_L=\frac{\partial z}{\partial t}=0.
\]
要改写为欧拉描述，需要用当前空间坐标代替标号。由于
\[
y=b,
\]
所以
\[
b=y.
\]
代入上式得
\[
\boxed{u(x,y,z,t)=\frac Uh y,\qquad v=0,\qquad w=0.}
\]
该欧拉速度场不显含 \(t\)，所以是定常速度场。

最后做一致性检查。沿欧拉速度场的质点轨迹满足
\[
\frac{dy}{dt}=0,\qquad \frac{dz}{dt}=0,
\]
故 \(y=b,z=c\)。再由
\[
\frac{dx}{dt}=\frac Uh y=\frac Uh b
\]
积分，仍得
\[
x=a+\frac Uh bt.
\]
这与拉格朗日映射完全一致。不可压检查也成立：
\[
\nabla\cdot\mathbf V
=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
\]
因此两种表述只是同一运动的“跟踪质点”和“固定空间点观察”两种写法。

核对证据来源：1 流体的物理性质 2第 14 页证据摘录：例1.1 分别以拉格朗日和欧拉方法表述图1-3的纯剪切流动文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/05-fluid-181103-05-1-2/rendered-page-014.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 15 页题目 1 题卡

#0295 · 第 15 页计算与分析题highHTML题面

例1.2 设某流动欧拉表述的速度场为 \(u=c_1x+t^2\)，\(v=c_2y-t^2\)，\(w=0\)，其中 \(c_1,c_2\) 为常数。试给出此流动在拉格朗日表述下的：(1) 流体质点运动方程；(2) 速度；(3) 加速度。

参考答案（默认展开，可收起）

拉格朗日运动方程由欧拉速度场直接给出：\(dx/dt=c_1x+t^2,\ dy/dt=c_2y-t^2,\ dz/dt=0\)。以初始标号 \(x(0)=a,\ y(0)=b,\ z(0)=c\)，用积分因子得 \(x=e^{c_1t}[a+\int_0^t s^2e^{-c_1s}\,ds]\)，\(y=e^{c_2t}[b-\int_0^t s^2e^{-c_2s}\,ds]\)，\(z=c\)。速度仍为 \(u=c_1x+t^2,\ v=c_2y-t^2,\ w=0\)。随体加速度为 \(a_x=du/dt=c_1u+2t\)，\(a_y=dv/dt=c_2v-2t\)，\(a_z=0\)。

核对证据来源：1 流体的物理性质 2第 15 页证据摘录：例1.2 设某流动欧拉表述的速度场为 u=c1x+t²，v=c2y-t²，ω=0，其中c1、c2为常数。试给出此流动在拉格朗日表述下的(1)流体质点运动方程(2)速度(3)加速度文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/05-fluid-181103-05-1-2/rendered-page-015.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 23 页题目 1 题卡

#0296 · 第 23 页计算与分析题highHTML题面

例1.3 圆桶内流体绕轴线以等角速旋转，求轨迹方程。

参考答案（默认展开，可收起）

设圆桶轴线为 \(z\) 轴，流体作等角速度刚体旋转，角速度为 \(\Omega\)。在柱坐标 \((r,\theta,z)\) 中，速度分量为
\[
v_r=0,\qquad v_\theta=\Omega r,\qquad v_z=0.
\]
流体质点轨迹由质点运动方程给出：
\[
\frac{dr}{dt}=v_r=0,
\]
\[
r\frac{d\theta}{dt}=v_\theta=\Omega r,
\]
\[
\frac{dz}{dt}=v_z=0.
\]
若 \(r\ne0\)，第二式给出
\[
\frac{d\theta}{dt}=\Omega.
\]
积分并令初始位置为 \((r_0,\theta_0,z_0)\)，得到
\[
r=r_0,\qquad
\theta=\theta_0+\Omega t,\qquad
z=z_0.
\]
这就是轨迹方程，表示质点在与桶轴垂直的水平面内沿半径为 \(r_0\) 的圆周运动。写成直角坐标为
\[
x=r_0\cos(\theta_0+\Omega t),\qquad
y=r_0\sin(\theta_0+\Omega t),\qquad
z=z_0.
\]
因此也有
\[
x^2+y^2=r_0^2,\qquad z=z_0.
\]
若质点在轴线上 \(r_0=0\)，则其位置保持在轴线上不变。

核对证据来源：1 流体的物理性质 2第 23 页证据摘录：例1.3 圆桶内流体绕轴线以等角速旋转，求轨迹方程文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/05-fluid-181103-05-1-2/rendered-page-023.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。

第 25 页题目 1 题卡

#0297 · 第 25 页计算与分析题highHTML题面

例1.4 设某二维流动速度为 \(u=x/(1+t)\)、\(v=y\)，求：(1) \(t=0\) 时刻过 \(M(1,1)\) 点的流线；(2) \(t=0\) 时刻位于 \(M(1,1)\) 点的流体质点轨迹。

参考答案（默认展开，可收起）

速度场为
\[
u=\frac{x}{1+t},\qquad v=y.
\]
第一问求 \(t=0\) 时刻过 \(M(1,1)\) 的流线。流线必须把时间固定为
\[
t=t_0=0.
\]
此时
\[
u=x,\qquad v=y.
\]
流线方程为
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}=\frac{y}{x}.
\]
分离变量：
\[
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}.
\]
积分得
\[
\ln|y|=\ln|x|+C,
\]
即
\[
y=C_1x.
\]
流线过 \(M(1,1)\)，所以
\[
1=C_1\cdot1,\qquad C_1=1.
\]
故
\[
\boxed{y=x}
\]
是 \(t=0\) 时刻过 \(M\) 的流线。

第二问求 \(t=0\) 时位于 \(M(1,1)\) 的流体质点的轨迹。轨迹跟随同一质点随时间运动，满足初值问题：
\[
\frac{dx}{dt}=\frac{x}{1+t},\qquad
\frac{dy}{dt}=y,\qquad
x(0)=1,\ y(0)=1.
\]
先解 \(x\) 方程：
\[
\frac{dx}{x}=\frac{dt}{1+t}.
\]
积分：
\[
\ln x=\ln(1+t)+C.
\]
由 \(x(0)=1\) 得 \(C=0\)，所以
\[
x=1+t.
\]
再解 \(y\) 方程：
\[
\frac{dy}{y}=dt,
\]
积分并用 \(y(0)=1\)：
\[
y=e^t.
\]
消去 \(t\)：由 \(x=1+t\) 得
\[
t=x-1.
\]
代入 \(y=e^t\)，轨迹为
\[
\boxed{y=e^{x-1}}.
\]
结论检查：流线 \(y=x\) 是固定时刻的瞬时切线族；轨迹 \(y=e^{x-1}\) 是同一质点以后走过的路径。由于速度场显含 \(t\)，二者一般不重合。

核对证据来源：1 流体的物理性质 2第 25 页证据摘录：例1.4 设某二维流动速度为 u=x/(1+t)、v=y，求……t=0时刻过M(1,1)点的流线……流体质点轨迹文本来源：manual-source-page-correction-round373-high来源页图：/resources/fluid-181103-html/materials/05-fluid-181103-05-1-2/rendered-page-025.jpgRound372：来源页图只作核对，不替代本 HTML 题面。