湍流讲义3

雷诺应力输运方程通常写成关于
\[
\langle u_i'u_j'\rangle
\]
的方程。要得到湍动能方程，对该方程令 \(i=j\) 并按重复指标求和，也就是作张量收缩。湍动能定义为
\[
k=\frac12\langle u_i'u_i'\rangle,
\]
所以
\[
\langle u_i'u_i'\rangle=2k.
\]
因此雷诺应力方程左端的局部变化项收缩后给出
\[
\frac12\frac{\partial \langle u_i'u_i'\rangle}{\partial t}
=\frac{\partial k}{\partial t},
\]
平均对流项收缩后给出
\[
\frac12\langle u_j\rangle
\frac{\partial \langle u_i'u_i'\rangle}{\partial x_j}
=\langle u_j\rangle\frac{\partial k}{\partial x_j}.
\]
这两项合起来常记为
\[
C_k=\frac{\partial k}{\partial t}
+\langle u_j\rangle\frac{\partial k}{\partial x_j},
\]
表示随平均运动输运观察到的湍动能变化率。

生产项来自雷诺应力与平均速度梯度的做功。收缩后得到
\[
P_k=-\langle u_i'u_j'\rangle
\frac{\partial \langle u_i\rangle}{\partial x_j}.
\]
若平均剪切把平均动能转移给脉动运动，则 \(P_k\gt0\)，表示湍动能生成；若符号相反，则表示湍动能向平均流反馈。

扩散项来自三类输运：脉动速度自身携带的湍流扩散、压力脉动做功导致的压力扩散，以及黏性分子扩散。它们可合并写成
\[
D_k
=-\frac{\partial}{\partial x_j}
\left[
\frac12\langle u_i'u_i'u_j'\rangle
+\frac1\rho\langle p'u_j'\rangle
-\nu\frac{\partial k}{\partial x_j}
\right],
\]
具体正负号随教材把扩散项放在方程左端还是右端而变。其物理意义不是生成或消灭总湍动能，而是在空间中重新分布湍动能。

耗散项来自脉动速度梯度通过分子黏性把机械能转化为内能：
\[
\epsilon
=\nu\left\langle
\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}
\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}
\right\rangle\ge0.
\]
它在湍动能方程中以负号出现。

于是湍动能输运方程可概括为
\[
\frac{\partial k}{\partial t}
+\langle u_j\rangle\frac{\partial k}{\partial x_j}
=P_k+D_k-\epsilon.
\]
若把左端整体记为 \(C_k\)，则
\[
C_k=P_k+D_k-\epsilon.
\]
这表明湍动能的局地和对流变化，由平均剪切生产、空间扩散输运和黏性耗散共同决定。

令湍动能为
\[
k=\frac12\langle u_i'u_i'\rangle.
\]
不可压湍流的湍动能方程可概写为
\[
\frac{Dk}{Dt}=P-\epsilon-\nabla\cdot T,
\]
其中 \(P\) 是生产项，\(\epsilon\) 是黏性耗散率，\(T\) 表示湍流输运、压力输运和黏性扩散等空间输运项。生产项为
\[
P=-\langle u_i'u_j'\rangle\frac{\partial U_i}{\partial x_j}.
\]
耗散率可写为
\[
\epsilon=\nu\left\langle
\frac{\partial u_i'}{\partial x_k}
\frac{\partial u_i'}{\partial x_k}
\right\rangle\ge0.
\]
在均匀湍流中，统计量不随空间位置变化，所以空间输运散度为零：
\[
\nabla\cdot T=0.
\]
在无剪切平均流场中，
\[
\frac{\partial U_i}{\partial x_j}=0,
\]
故
\[
P=0.
\]
若再取随平均流运动的参考系，则湍动能方程只剩
\[
\frac{\partial k}{\partial t}=-\epsilon
=-\nu\left\langle
\frac{\partial u_i'}{\partial x_k}
\frac{\partial u_i'}{\partial x_k}
\right\rangle\le0.
\]
只要脉动速度存在非零空间梯度，\(\epsilon>0\)，于是 \(k\) 随时间单调衰减。积分形式为
\[
k(t)=k(0)-\int_0^t\epsilon(s)\,ds.
\]
这说明均匀、无剪切平均流场中没有平均流能量输入，也没有空间输运补给，湍动能会不断被黏性耗散掉。

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