2 理想流体流动

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球对称不可压缩流中只有径向速度 \(v_r\)。由连续方程\n\[\frac{\partial(r^2v_r)}{\partial r}=0\]\n得 \(r^2v_r=A(t)\)。球面运动边界条件 \(v_r(R,t)=\dot R\) 给出 \(A(t)=R^2\dot R\)，即\n\[v_r(r,t)=\frac{R^2\dot R}{r^2}.\]\n径向欧拉方程为\n\[\frac{\partial v_r}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}=-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial r}.\]\n令 \(A=R^2\dot R\)，则 \(\partial v_r/\partial t=\dot A/r^2\)、\(v_r\partial v_r/\partial r=-2A^2/r^5\)。由 \(p(\infty)=p_0\) 积分到 \(r=R\)，得球面压强\n\[p_s=p_0+\rho\left(R\ddot R+\frac32\dot R^2\right).\]