3 流体运动的基本方程组

高斯定理写成
\[
\int_V \nabla\cdot\mathbf A\,dV
=\oint_S \mathbf A\cdot\mathbf n\,dS,
\]
其中 \(S=\partial V\)，\(\mathbf n\) 为外法向。它的物理意义是：一个矢量场在控制体内部的散度总和，等于该矢量场穿过控制面向外的净通量。若
\[
\nabla\cdot\mathbf A\gt0,
\]
局部表现为源；若
\[
\nabla\cdot\mathbf A\lt0,
\]
局部表现为汇。高斯定理把“体内源汇强度”与“边界流出量”联系起来，所以是从微分守恒式过渡到积分守恒式的核心工具。

以总能量方程为例。取单位质量总能量
\[
E=e+\frac12|\mathbf v|^2,
\]
其中 \(e\) 是内能，\(\frac12|\mathbf v|^2\) 是动能。对固定控制体，积分形式可写成
\[
\frac{d}{dt}\int_V \rho E\,dV
+\oint_S \rho E\,\mathbf v\cdot\mathbf n\,dS
=\int_V \rho\mathbf f\cdot\mathbf v\,dV
+\oint_S(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf n)\cdot\mathbf v\,dS
-\oint_S\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS.
\]
左端第一项
\[
\frac{d}{dt}\int_V \rho E\,dV
\]
表示控制体内总能量的储存量变化率。左端第二项
\[
\oint_S \rho E\,\mathbf v\cdot\mathbf n\,dS
\]
表示质量流穿过控制面时携带的总能量净流出率；若 \(\mathbf v\cdot\mathbf n\gt0\)，能量随流体流出，若小于零则流入。

右端第一项
\[
\int_V \rho\mathbf f\cdot\mathbf v\,dV
\]
是体力功率，例如重力或电磁力对流体做功。右端第二项
\[
\oint_S(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf n)\cdot\mathbf v\,dS
\]
是控制面上应力做功率，包含压力功和黏性应力功。右端第三项
\[
-\oint_S\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS
\]
是热传导输入率；若 \(\mathbf q\cdot\mathbf n\gt0\) 表示热量向外流出，所以对控制体能量为负贡献。

这些面积分正是由微分方程中的散度项经高斯定理转化而来。例如能量通量散度
\[
\nabla\cdot(\rho E\mathbf v)
\]
在体积分后变成
\[
\oint_S \rho E\mathbf v\cdot\mathbf n\,dS.
\]
用控制体语言可再压缩成两个检查式：体内源汇合计 = 边界净通量；控制体能量增加率 = 外界输入功率 - 随流体带出的能量净通量。这样读积分方程时，每一项都能按“储存、流出、做功、传热”逐项归位。
因此，高斯定理的物理作用是把局部的“通量散度”改写成控制面上的“净流入/流出”，使能量守恒从点形式变成可对任意控制体核算的积分形式。